| • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง |
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติการสะท้อน a = a |
| 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a |
| 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c |
| 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c |
| 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc |
|
| • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง |
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง |
| 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c |
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c |
| 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก |
| 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก |
|
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง |
| กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง |
| 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba |
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c |
| 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 |
| นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ |
| 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 |
| 6. สมบัติการแจกแจง |
| a( b + c ) = ab + ac |
| ( b + c )a = ba + ca |
| จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ |
| |
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก |
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b |
| ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c |
| |
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ |
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b |
| ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c |
| |
| ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| a · 0 = 0 |
| 0 · a = 0 |
| |
| ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| (-1)a = -a |
| a(-1) = -a |
| |
| ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 |
| |
| ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| a(-b) = -ab |
| (-a)b = -ab |
| (-a)(-b) = ab |
| |
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |
| |
| • การลบจำนวนจริง |
| |
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| a- b = a + (-b) |
| นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b |
| |
| • การหารจำนวนจริง |
| |
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 |
| |
|
| นั่นคือ |  | คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b |
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น