บทนิยาม ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่ 1 เรียกว่า ลำดับ
ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } เรียกว่า ลำดับจำกัด
และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } เรียกว่า ลำดับอนันต์1 ความหมายของลำดับ
ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
กล่าวคือ ถ้า a เป็น ลำดับจำกัด จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an
และ ถ้า a เป็น ลำดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย a1, a2, a3, …, an, …
เรียก a1 ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a2 ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a3 ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ
และเรียก an ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ
2. ตัวอย่างของลำดับ
1) 4, 7, 10, 13 เป็น ลำดับจำกัด ที่มี
a1 = 4 a2 = 7 a3 = 10 a4 = 13 และ an = 3n + 1
2) – 2, 1, 6, 13, … เป็น ลำดับอนันต์ ที่มี
a1 = – 2
a2 = 1 a3 = 6 a4 = 13
และ an = n2 – 3
a2 = 1 a3 = 6 a4 = 13
และ an = n2 – 3
การเขียนลำดับนอกจากจะเขียนโดยการแจงพจน์แล้ว อาจจะเขียนเฉพาะพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน
ตัวอย่าง
1) ลำดับ 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนด้วย
an = 3n + 1 เมื่อ n 
{ 1, 2, 3, 4 }
{ 1, 2, 3, 4 } 2) ลำดับ – 2 , 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนด้วย
an = n2 – 3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
หมายเหตุ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน
ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็น ลำดับอนันต์
3. ตัวอย่าง ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัด หรือ ลำดับอนันต์
ลำดับจำกัด เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n พจน์แรก ลำดับอนันต์ เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
1) 6, 12, 18, 24, 30 เป็นลำดับจำกัด
2) 2, 4, 8, 16, …, 
, … เป็นลำดับอนันต์
, … เป็นลำดับอนันต์3) an = 5n – 2 เมื่อ n 
{ 1, 2, 3, …, 20 } เป็นลำดับจำกัด
{ 1, 2, 3, …, 20 } เป็นลำดับจำกัด4) 
เป็นลำดับอนันต์
เป็นลำดับอนันต์5) an = n2 + 3 เป็นลำดับอนันต์
บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ
และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม ( Common difference )
ซึ่ง a2 – a1 = 4 – 1 = 3
a3 – a2 = 7 – 4 = 3
เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ” (Common ratio) เขียนแทนด้วย r
ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว
จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an เท่ากับ ค่าคงที่
เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference) เขียนแทนด้วย “ d ”
จากบทนิยาม d = an+1 – an
หรือ an+1 = an + d
- ความหมายของลำดับเลขคณิต
ซึ่ง a2 – a1 = 4 – 1 = 3
a3 – a2 = 7 – 4 = 3
a4 – a3 = 10 – 7 = 3
จะเห็นว่า ผลต่างของพจน์หลัง ลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ เท่ากับ 3
เรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม และเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับเลขคณิต
ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต
1. ลำดับ 1, 3, 5, …, 99 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 2
2. ลำดับ 6, 3, 0, …, -27 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ -3
3. ลำดับ 5, 5, 5, …, 5 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0
4. ลำดับ 0, 0, 0, …, 0 เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0
จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า d = 0 จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากัน
และเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว” เช่น ข้อ 3 และข้อ 4
บทนิยาม ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่
ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ”
ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้
เท่ากับค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ อัตราส่วนร่วม ” (Common ratio) เขียนแทนด้วย r ตัวอย่าง ลำดับเรขาคณิต
- ความหมายของลำดับเรขาคณิต
พิจารณา ลำดับ 1, 2, 4, 8, …
ใช้แผนภาพการทำซ้ำดังแผนภาพที่แสดงอยู่ข้างล่างเพื่อช่วยให้นักเรียนมองเห็นสิ่งที่อยู่ใต้กระบวนการทำซ้ำที่ใช้ในการสร้างจำนวนอย่างต่อเนื่อง ลูกศรแสดงวงจรที่ทำให้เกิดการเวียนทำกระบวนการเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก
ลำดับ 1, 2, 4, 8, …
ลำดับนี้เกิดจาก 1
1 
2 = 2
2 = 2 2 
2 = 4
2 = 4 4 
2 = 8
2 = 8 เรียกลำดับนี้ ว่า ลำดับเรขาคณิต
พิจารณา ลำดับ 1, 2, 4, 8, …
ซึ่ง a2 
a1 = 2 1 = 2
a1 = 2 1 = 2 a3 a2 = 4 2 = 2
a2 = 4 2 = 2 a4 a3 = 8 4 = 2
a3 = 8 4 = 2 จะเห็นว่า อัตราส่วนของพจน์หลัง หารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน มีค่าคงที่ เท่ากับ 2
เรียกค่าคงที่ว่า อัตราส่วนร่วม และเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับเรขาคณิต
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น