ห.ร.ม.และค.ร.น.

 1. ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่สามารถหารจำนวนนับได้ลงตัว เช่น
ตัวประกอบของ 3 คือ 1 และ 3
ตัวประกอบของ 15 คือ 1, 3, 5 และ 15

2. จำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวของมันเอง เช่น2,3,5 , 7,11...เป็นต้น

การแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ หมายถึง การเขียนจำนวนนับนั้นในรูปการคูณกันของจำนวนเฉพาะ เช่น
6 = 2 x 3
8 = 2 x 2 x 2
12 = 2 x 2 x 3
ตัวหารร่วมที่มากทีสุด (ห.ร.ม.)
ตัวหารร่วมที่มากที่สุดของจำนวนใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง จำนวนที่มีค่ามากที่สุดที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดเหล่านั้นได้ลงตัว

ประวัตินักคณิตศาสตร์ของโลก

                      

 ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria)

ยูคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และเป็นที่รู้จักกันดี ยูคลิดเกิดที่เมืองอเล็กซานเดรีย

 ประเทศอิยิปต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล มีชีวิตอยู่จนกระทั่งประมาณปี 300 ก่อนคริสตกาล
 สิ่งที่มีชื่อเสียงคือผลงานเรื่องThe Elements หลักฐานและเรื่องราวเกี่ยวกับตัว

ยูคลิดยังคงสับสน เพราะมีผู้เขียนไว้หลายรูปแบบ อย่างไรก็ตามผลงานเรื่อง The Elements

ยังคงหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้ จากหลักฐานที่สับสนทำให้สันนิษฐานที่เกี่ยวกับยูคลิด

มีหลายแนวทาง เช่น ยูคลิดเป็นบุคคลที่เขียนเรื่อง The Elements หรือยูคลิดเป็นหัวหน้าทีม

นักคณิตศาสตร์ที่อาศัยอยู่ที่อเล็กซานเดรีย และได้ช่วยกันเขียนเรื่อง The Elements อย่างไร

ก็ดีส่วนใหญ่ก็มั่นใจว่ายูคลิดมีตัวตนจริง และเป็นปราชญ์อัจฉริยะทางด้านคณิตศาสตร์

ที่มีชีวิตในยุคกว่า 2,000 ปี

การแก้สมการ

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบของสมการ หรือการหาค่าของตัวแปรซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง
คำสั่งที่ใช้ในการแก้สมการ นิยมใช้คำสั่งดังนี้
จงแก้สมการ 5x + 2 = 17
จงหาคำตอบของสมการ 5x + 2 = 17
จงหาค่าของ x ที่ทำให้สมการ 5x + 2 = 17 เป็นจริง
จากสมการ 5x + 2 = 17 จงหาค่าของตัวแปร

การแก้สมการทำได้ 2 วิธีดังนี้
การแทนค่าตัวแปร
การใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน

ทฤษฎีปีทาโกรัส

ทฤษฎีปิทาโกรัส

1.ทฤษฎีบทของปิทาโกรัส (Pythagorean Theorem)

ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี มุม ACB เป็นมุมฉาก c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทนความยาวด้านประกอบมุมฉาก จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้

c² = a² + b²

ข้อสังเกต นิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A

นิยมใช้ b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B

นิยมใช้ c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม C

สถิติ

สถิติเบื้องต้น

   ข้อมูลสถิติหรือข้อมูล  หมายถึง  ข้อเท็จจริงของเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่เราสนใจจะศึกษา  ซึ่งอาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้
- จำนวนคนที่เป็นโรคหัวใจในแต่ละเดือน
- ปริมาณการส่งออกข้าวของประเทศไทยในปีนี้เพิ่มขึ้นจากปีที่แล้ว

    การจำแนกข้อมูล1.  ข้อมูลที่จำแนกตามลักษณะของข้อมูล  แบ่งเป็น  2  ประเภท
1.1  ข้อมูลเชิงปริมาณ  คือข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขที่สามารถนำมาใช้เปรียบเทียบขนาดได้โดยตรง
1.2  ข้อมูลเชิงคุณภาพ  คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นค่าตัวเลขโดยตรงได้  แต่วัดออกมาในเชิงคุณภาพได้  เช่น  เพศของสมาชิกในครอบครัว  ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลประเภทนี้  ส่วนใหญ่ทำโดยการนับจำนวนจำแนกตามลักษณะเชิงคุณภาพ
2.  ข้อมูลจำแนกตามวิธีการเก็บรวบรวม
2.1  ข้อมูลปฐมภูมิ  คือ  ข้อมูลที่ได้จากการรวบรวมจากผู้ที่ให้ข้อมูลหรือแหล่งที่มาโดยตรง
2.1.1  การสำมะโน  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรที่ต้องการศึกษา
2.1.2  การสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง  คือ  การเก็บรวบรวมข้อมูลที่ประกอบด้วยตัวแทนจากทุกลักษณะของประชากรที่ต้องการศึกษา
   ในทางปฏิบัติ  ไม่ว่าจะทำการสำมะโนหรือการสำรวจ  นิยมปฏิบัติอยู่  5  วิธี  คือ
   1.  การสัมภาษณ์  นิยมใช้กันมาก  เพราะจะได้คำตอบทันที  นอกจากนี้หากผู้ตอบไม่เข้าใจก็สามารถอธิบายเพิ่มเติมได้  แต่ผู้สัมภาษณ์ต้องซื่อสัตย์  และเข้าใจจุดมุ่งหมายของการเก็บข้อมูลอย่างแท้จริง
   2.  การแจกแบบสอบถาม  วิธีนี้ประหยัดเวลาและค่าใช้จ่ายมาก  สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม  แต่ก็มีข้อเสียหลายประการ  เช่น  ต้องใช้ในเฉพาะผที่มีการศึกษา  มีไปรษณีย์ไปถึง  คำถามต้องชัดเจน  อาจจะไม่ได้รับคืนตามเวลาหรือจำนวนที่ต้องการ  จึงต้องส่งแบบสอบถามออกไปเป็นจำนวนมากๆ  หรือไปแจกและเก็บด้วยตนเอง
   3.การสอบถามทางโทรศัพท์  เป็นวิธีที่ง่าย  เสียค่าใช้จ่ายน้อย  ต้องเป็นการสัมภาษณ์อย่างสั้นๆ  ตอบได้ทันทีโดยไม่ต้องเสียเวลาค้นหาหลักฐาน  ใช้ได้เฉพาะส่วนที่มีโทรศัพท์เท่านั้น
   4.  การสังเกต  เป็นข้อมูลที่ได้จากการสังเกตแล้วบันทึกสิ่งที่เราสนใจเอาไว้  ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วงๆของเวลาอย่างต่อเนื่องกัน  ข้อมูลจะน่าเชื่อถือได้มากน้อยขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชำนาญของผู้สังเกต  เช่น  ข้อมูลเกี่ยวกับการใช้บริการต่างๆ  เช่น  บริการรถโดยสาร  การบริการสหกรณ์  ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่างๆ  เป็นต้น  วิธีนี้นิยมใช้ประกอบกับการเก็บข้อมูลวิธีอื่นๆ
   5.  การทดลอง  เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลที่มีการทดลอง  ซึ่งมักจะใช้เวลาในการทดลองนานๆ  ทำซ้ำๆ

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น
    ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น   

---

    การทดลองสุ่ม   

คือ การทดลองซึ่งทราบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น อาจเป็นอะไรได้บ้างแต่ไม่สามารถบอกได้ถูกต้องว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลอง จะเกิดผลลัพธ์เป็นอะไร
 

ผลลัพธ์ คือ ผลที่ได้จากการทดลองสุ่มที่เสร็จสิ้นแล้ว ซึ่งจะปรากฏผลลัพธ์เพียงทางหนึ่งทางเดียวเท่านั้น เช่น การโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็น 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 อย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว

---

   แซมเปิลสเปซ ( Sample Space )    คือ เซต ที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
เหตุการณ์ ( Event ) คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซเป็นสิ่งที่เราสนใจว่าจะเกิดอะไร แซมเปิลสเปซและ ( เป็นเหตุการณ์
 
ตัวอย่าง การโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
เป็นการทดลองสุ่ม เพราะทราบว่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นอาจเป็นเลข 1 ถึง 6

ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต

บทนิยาม      ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มตั้งแต่  1   เรียกว่า ลำดับ

                                ถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    { 1, 2, 3, …, n }  เรียกว่า    ลำดับจำกัด

                                และถ้าฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }  เรียกว่า   ลำดับอนันต์

1    ความหมายของลำดับ

                        ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

                        กล่าวคือ  ถ้า a  เป็น ลำดับจำกัด  จะเขียนแทนด้วย   a₁,   a₂,  a₃,  …,  a_n 

                        และ        ถ้า a  เป็น ลำดับอนันต์  จะเขียนแทนด้วย  a₁,  a₂,  a₃,  …,  a_n,  … 

                        เรียก           a₁   ว่า  พจน์ที่ 1  ของลำดับ        

                        เรียก          a₂   ว่า  พจน์ที่ 2  ของลำดับ        

                        เรียก          a₃   ว่า  พจน์ที่ 3  ของลำดับ        

                                            

                        และเรียก   a_n  ว่า  พจน์ที่ n  ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

อนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต

บทนิยาม   อนุกรมเลขคณิตอนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

                        เมื่อ      a₁,  a₁ + d,   a₁ + 2d,   …,    a₁ + (n – 1)d                           เป็นลำดับเลขคณิต
                        จะได้   a₁  +   (a₁ + d)  +  (a₁ + 2d)   +  …  +   (a₁ + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต
                        ซึ่งมี   a₁  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต
จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a₁,   a₂,   a₃,   …,   a_n   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์
จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป
a₁  +  a₂  +  a₃ +  …  +  a_n               ว่า  อนุกรมเลขคณิต
และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

เรขาคณิตวิเคราะห์

สมการของกราฟเส้นตรง

เรขาคณิตวิเคราะห์ ในการศึกษาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะทำการศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจุด และเส้นตรงโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดฉากเป็นหลัก

ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วย แกนพิกัดฉาก 2 แกน ได้แก่ เส้นจำนวนที่อยู่บนแกนนอน (แกน x) และเส้นจำนวนที่อยู่บนแกนตั้ง (แกน y) แกนพิกัดฉากทั้งสองนี้จะแบ่งพื้นระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ นี้ว่า "ควอดรันต์" (Quadrant) ซึ่งมีลักษณะดังรูป

แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y

ทฤษฎีจำนวนเบื่องต้น

ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)

นิยาม ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ n≠0 แล้ว n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนต็ม c เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง m = nc

เรียก n ว่าตัวหารหนึ่งของ m สัญลักษณ์ n|m หมายถึง n หาร m ลงตัว n|/m หมายถึง n หาร m ไม่ลงตัว

สมบัตของจำนวนจริง

สมบัติของจำนวนจริง

• สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

ความสัมพันธ์

คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้
	สมบัติของคู่อันดับ
		1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
		2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
		3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

ตรรกศาสตร์

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∧ q	สมมูลกับ	q ∧ p
	p ∨ q	สมมูลกับ	q ∨ p
	(p ∧ q) ∧ r	สมมูลกับ	p ∧ (q ∧ r)
	(p ∨ q) ∨ r	สมมูลกับ	p ∨ (q ∨ r)
	p ∧ (q ∨ r)	สมมูลกับ	(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
	p ∨ (q ∧ r)	สมมูลกับ	(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
	p → q	สมมูลกับ	~p ∨ q
	p → q	สมมูลกับ	~q → ~p
	p ⇔ q	สมมูลกับ	(p → q) ∧ (q → p)
	ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย

เซต (Sets)

เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของหรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

การเขียนแผนภาพแทนเซต
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)

ระบบจำนวนจริง

วิธีเรียนคณิตให้เก่ง เรียนคณิตศาสตร์อย่างไรให้ได้ดี

เชื่อว่าผู้เรียนหลายคนคงจะพบปัญหากับการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แล้วเราจะมีวิธีเรียนคณิตให้เก่ง เรียนคณิตศาสตร์อย่างไรให้ได้ดี วันนี้จะได้พบกับกลเม็ดเคล็ด (ไม่) ลับสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์

เราต้องเริ่มฝึกฝนการเป็นผู้เรียนที่ดี โดยสามารถทำได้ตามขั้นตอนต่าง ๆ ดังนี้
1.  เวลาฟังครู หรือเวลาอ่าน ต้อง คิด ถาม จด ถ้าไม่เข้าใจควรจดคำถามไว้เพื่อคิดค้นคว้า หรือ ถามผู้รู้ต่อไป
2.  หมั่นดูหนังสือหรือทำการบ้านอย่างมีประสิทธิภาพ ควรหามุมอ่านหรือทำการบ้านที่เหมาะสมกับตนเอง
3.จัดเวลาสำหรับทบทวนสิ่งที่เรียนมาหรืออ่านล่วงหน้าสิ่งที่จะเรียนต่อไป และถ้าปฏิบัติตามที่กำหนดได้ควรให้ รางวัลตัวเอง เช่น ได้ขนม ได้เล่น ได้ฟังเพลง ดูทีวี ได้เล่นกีฬา เป็นต้น ถ้า ทำไม่ได้ตาม กำหนดควรหาเวลาชดเชย