| คู่อันดับ | |||||
| คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้ | |||||
| สมบัติของคู่อันดับ | |||||
| 1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b | |||||
| 2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d | |||||
| 3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d | |||||
| • ผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
| ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B | |||||
| นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } | |||||
| สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
| กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว | |||||
| 1. | A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A | ||||
| A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø | |||||
| A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø | |||||
| 2. | A × Ø = Ø × A = Ø | ||||
| 3. | A × ( B ∪ C ) | = (A× B) ∪(A × C) | |||
| (A ∪ B) × C | = (A× C) ∪(B × C) | ||||
| 4. | A × ( B ∩ C ) | = (A× B) ∩ (A × C) | |||
| (A ∩ B) × C | = (A× B) ∩ (B × C) | ||||
| 5. | A × ( B - C ) | = (A× B) - (A × C) | |||
| (A - B) × C ) | = (A× C) - (B × C) | ||||
| 6. | ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C | ||||
| 7. | ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B) | ||||
| 8. | ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์ | ||||
| ความสัมพันธ์ | |||||
กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A | |||||
| ตัวอย่างเช่น | กำหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x } | ||||
∴ | r = { (1,2), (2,4) } | ||||
| หมายเหตุ | (x, y) ∈ r อาจเขียนแทนด้วย x r y | ||||
| โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ | |||||
| กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B | |||||
| โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr | |||||
| |||||
| เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr | |||||
| |||||
| หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ เมื่อกำหนด r แบบบอกเงื่อนไขมาให้ | |||||
| 1. เมื่อต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r 2. เมื่อต้องการหาเรนจ์ ให้จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r | |||||
ตัวอย่างเช่น กำหนด r = { (x,y) ∈ R× R | } | |||||
| |||||
| นั่นคือ y หาค่าได้เมื่อ x-2 ≠ 0 | |||||
| ∴ Dr = R - {2} = { x | x ≠ 2 } | |||||
| |||||
| นั่นคือ x หาค่าได้เมื่อ y ≠ 0 | |||||
| ∴ Rr = R - {0} = { y | y ≠ 0 } | |||||
อินเวอร์ส
| อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1 | |||||||||
| การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้ | |||||||||
| วิธีที่ 1 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม | ||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| วิธีที่ 2 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม | ||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1} | |||||||||
|
| ||||||||
สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์ | |||||||||
| ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B | |||||||||
| 1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A | |||||||||
| 2. D r = R r-1 และ R r = D r-1 | |||||||||
กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ | |||||||||
| เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้ | |||||||||
| วิธีที่ 1 | |||||||||
| 1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1 | |||||||||
| 2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1 | |||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = | x | + 2} | ||||||||
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = | y | + 2} | ||||||||
 | |||||||||
| วิธีที่ 2 | |||||||||
| 1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r | |||||||||
| 2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y | |||||||||
 | |||||||||
| ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ | ||
| บทนิยาม |
| |
| ตัวอย่างที่ 1 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้ | |
| A = {1, 2, 3, 4} | |
| วิธีทำ | r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} |
 | |
--------------------------------------------------------------------------- | |
| ตัวอย่างที่ 2 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ R × R | y = x - 1} | |
| วิธีทำ | |
 | |
--------------------------------------------------------------------------- | |
| ตัวอย่างที่ 3 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 } |
 | |
--------------------------------------------------------------------------- | |
| ตัวอย่างที่ 4 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| วิธีทำ | r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1 } |
 | |
--------------------------------------------------------------------------- | |
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น