ทฤษฎีจำนวนเบื่องต้น

ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)

นิยาม ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ n≠0 แล้ว n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนต็ม c เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง m = nc

เรียก n ว่าตัวหารหนึ่งของ m สัญลักษณ์ n|m หมายถึง n หาร m ลงตัว n|/m หมายถึง n หาร m ไม่ลงตัว

1. การหารลงตัว
a|b หมายถึง “b หารด้วย a ลงตัว” หรือ “a หาร b ลงตัว”
b/a = c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็ม

สมบัติ
1) ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c
2) ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และ a|b แล้ว a≤b
3) ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็ม โดย a|b และ a|c แล้ว a(bx+cy) เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
2. การหารเหลือเศษ
a/b = c เศษ d → a = bxc+d โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ d < b เช่น
0/3 = 0 เศษ 0 → 0 = 3 x (0) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
2/3 = 0 เศษ 2 → 2 = 3 x (0) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
3/3 =1 เศษ 0 → 3 = 3 x (1) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
4/3 =1 เศษ 1 → 4 = 3 x (1) + 1 (เหลือเศษเท่ากับ 1)
11/3 = 3 เศษ 2 → 11 = 3 x (3) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
**Tips
ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว am/b เหลือเศษเท่ากับ เศษเหลือของ dm/b
3. จำนวนเฉพาะ และ จำนวนประกอบ
จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีแต่ 1, −1, ตัวมันเอง, จำนวนตรงข้ามของตัวมันเองเท่านั้นที่หารลงตัว

(โดยที่ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ) เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...
จำนวนประกอบคือ จำนวนเต็มบวก ที่ไม่ใช่ 1 และ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะโดยสามารถเขียนจำนวนประกอบ

ให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะคูณกันได้ เช่น

4 = 2 × 2
6 = 2 × 3
21 = 3 × 7
24 = 2 × 2 × 2 × 3
4. ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
ห.ร.ม. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ (a,b)คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากที่สุดที่หาร a และ b ลงตัว
การหาค่า ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ห.ร.ม. ของ 300 และ 180 หรือ (300,180) คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60

สมบัติ
1) (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
2) *** ถ้า n|a และ n|b จะได้ว่า n|(a,b)***

5. ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ค.ร.น. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ [a,b]คือ จำนวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัว
การหาค่า ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ค.ร.น. ของ 300 และ 180 หรือ [300,180] คือ 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 = 900

สมบัติ
1) [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
2) *** ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n***

6. จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่มีห.ร.ม. เท่ากับ 1(ดังนั้น จำนวนเต็ม 2 จำนวนนั้น จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน)
เช่น 21 กับ 25
21= 3×7
25 = 5×5
สรุป 21 กับ 25 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
ดังนั้น 21 กับ 25 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
26 กับ 35
26 = 2×13
35 = 5×7
สรุป 26 กับ 35 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลย
ดังนั้น 26 กับ 35 มี ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
7. สมบัติร่วมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
(a,b) x [a,b] = a x b เช่น (300,180) คือ 60 , [300,180] คือ 900
จาก (300,180) x [300,180] = 300 x 180
จะได้ 60 × 900 = 300 × 180